Question

已知公差大于零的等差數列{a_n}的前n項和S_n，且滿足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比數列的連續三項，求i的值；
（2）設，是否存在一個最小的常數m使得b₁+b₂+…+b_n＜m對于任意的正整數n均成立，若存在，求出常數m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用方程組思想，確定等差數列{a_n}的通項，再利用1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比數列的連續三項，建立方程，即可求i的值；
（2）求得數列的通項，利用裂項法求和，即可求得m的值．
解答：解：（1）由題意，∵a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
∴（a₁+d）（a₁+3d）=65，a₁+a₁+4d=18．
∵d＞0，∴d=4，a₁=1
∴a_n=4n-3，
∵a₁，a_i，a₂₁是某等比數列的連續三項，
∴a₁a₂₁=
∴1•81=（4i-3）²
∵1＜i＜21，∴i=3；
（2）由（1）可得
∴==（）
∴b₁+b₂+…+b_n=（+…+）==
∵b₁+b₂+…+b_n＜m對于任意的正整數n均成立，
∴
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的求和，確定數列的通項，正確運用求和公式是關鍵．