Question

(2006天津，22)如下圖，以橢圓(a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F(c，0)(c＞b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連結OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．

(1)證明，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；

(2)設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：(1)由題設條件，知Rt△OFA～Rt△OBF， 故，即．因此，．　　　　　　　　　① 在Rt△OFA中，． 于是，直線OA的斜率．設直線BF的斜率為k， 則．這時，直線BF的方程為， 令x=0，則．所以直線BF與y軸的交點為M(0，a)． (2)由(1)得直線BF的方程為y=kx＋a， 且．　　　　　　　　　　　　　　　　　② 由已知，設P(，)、Q(，)，則它們的坐標滿足方程組 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③ 由方程組③消去y，并整理得 　　　　　　　　　　④ 由式①、②和④，． 由方程組③消去x，并整理得 ．　　　　　　　⑤ 由式②和⑤， ． 綜上，得到 ． 注意到，得 ．

提示：

剖析：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力．