Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c的圖象過點（0，1）和（1，4），且對于任意的實數x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）設g（x）=kx+1，若F（x）=log₂[g（x）-f（x）]在區間[1，2]上是增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用圖象過點（0，1）和（1，4），將點的坐標代入函數解析式得到關于a，b，c的關系式，再結合不等式f（x）≥4x對于任意的x∈R均成立，移項后變成二次函數的一般形式，只需△≤0即可求得a，b，c的值，最后寫出函數f（x）的表達式．
（2）由于F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x），設h（x）=-x²+（k-2）x，由二次函數的性質，比較對稱軸和區間端點的關系即可．
解答：解：（1）f（0）=1⇒c=1，f（1）=4⇒a+b+c=4

（2）F（x）=log₂（g（x）-f（x））=log₂（-x²+（k-2）x）
由F（x）在區間[1，2]上是增函數得h（x）=-x²+（k-2）x在[1，2]上為增函數且恒正
故，
實數k的取值范圍k≥6．
點評：本題考查二次函數在R中的恒成立問題，可以通過判別式法予以解決，二次函數的單調區間有開口方向和對稱軸的位置共同決定，在沒說明開口方向時一定要注意比較對稱軸和區間端點的關系．