Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)．記f(x)=

m

•

n

（Ⅰ） 若x∈（0，π），求證：向量

m

和

n

不可能共線；
（Ⅱ） 若x∈(0，

π

4

]，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用反證法向量

m

和

n

共線，通過x的范圍推出sinx＞1矛盾結果，從而證明向量

m

和

n

不可能共線；
（Ⅱ） 求出向量的數量積，利用兩角和的正弦函數化簡，結合x∈(0，

π

4

]，利用函數的單調性求函數f（x）的最大值．

解答：解：（I）（反證法）．假設

m

與

n

共線，則

3

sin

x

2

．cos2

x

2

-cos

x

2

=0
∴x∈（0，π），0＜

x

2

＜

π

2

cos

x

2

≠0…（3分） 
則sinx=

2

3

=

2 3

3

＞1
而sinx∈（0.1）這是不可能的，矛盾．
∴

m

和

n

不可能共線．                                 …（7分）
（Ⅱ）f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin(x+

π

6

)+

1

2

…（9分）
∵0＜x≤

π

4

．

π

6

＜x+

π

6

≤

5π

12

，f（x）在(0，

π

4

]是單調遞增，
∴f(x)max=f(

π

4

)=sin

5π

12

+

1

2

…（11分）
又sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

．cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

6 + 2

4

∴f(x)max=f(

π

2

)=sin

5π

12

+

1

2

=

6 + 2 +2

4

…（14分）

點評：本題考查向量的數量積的應用，兩角和的正弦函數的應用，反證法的證明方法的應用，考查分析問題解決問題能力．