Question

已知a，b∈R+，函數f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明你的結論；
（2）比較

a2+b2

a+b

與

ab

的大小．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性的定義證明．（2）通過作差法判斷大小．

解答：解：（1）函數f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)遞增函數，證明如下：
設x＜y，則x-y＜0，f(x)-f(y)=

(a-b)(ax-y-bx-y)ayby

(ax+bx)(ay+by)

，
①當a=b時，f（x）為常數函數，此時不單調．
②若a＞b，則a-b＞0，a^x-y＜b^x-y，a^x-y-b^x-y＜0，所以f（x）＜f（y），
此時函數f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)遞增函數．
③當a＜b，則a-b＜0，a^x-y＞b^x-y，a^x-y-b^x-y＞0，所以f（x）＜f（y），
此時函數f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)遞增函數．
（2）

a2+b2

a+b

-

ab

=

a2+b2-a ab -b ab

a+b

=

a2+b2-a 3 2 b 1 2 -a 1 2 b 3 2

a+b

=

(a 3 2 -b 3 2 )(a 1 2 -b 1 2 )

a+b

，
因為冪函數x

3

2

，x

1

2

在（0，+∞）上單調遞增，具有相同的單調性．
所以當a=b時，

a2+b2

a+b

=

ab

．
當a≠b時，

a2+b2

a+b

＞

ab

．

點評：本題的考點是利用作差法比較兩個數的大小以及利用單調性的定義去判斷函數的單調性，作差法是比較大小中最常用的一種方法．