Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=-

2

3

，an+1=

-2an-3

3an+4

（n∈N₊）．
（1）證明數(shù)列{

1

an+1

}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足：bn=

3n

an+1

（n∈N₊），求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列遞推式兩邊加上1，再取倒數(shù)，即可證得數(shù)列{

1

an+1

}是等差數(shù)列，從而可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)．利用錯(cuò)位相減法，即可求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：（1）證明：因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

1

an+1+1

=

1

-2an-3 3an+4 +1

=

3an+4

an+1

=3+

1

an+1

所以

1

an+1+1

-

1

an+1

=3
所以{

1

an+1

}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，
所以

1

an+1

=3n，
所以an=

1

3n

-1；
（2）解：由已知bn=

3n

an+1

=3n+1n
∴Sn=32×1+3^×2+…+3n×(n-1)+3n+1×n①3Sn=33×1+34×2+…+3n+1×(n-1)+3n+2×n②
①-②得-2Sn=32+3^+…+3n+1-3n+2×n=

32(3n-1)

3-1

-3n+2×n
所以Sn=

3n+2-9

-4

+

n

2

3n+2=

(2n-1)

4

3n+2+

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．