Question

如圖是以正方形ABCD為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，且，AE=1，BF=DH=2，CG=3
（Ⅰ）證明：截面四邊形EFGH是菱形；
（Ⅱ）求幾何體C-EFGH的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因為平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分別交
平面ABFE、平面CDHG于直線EF、GH，所以EF∥GH．
同理，FG∥EH．
因此，四邊形EFGH為平行四邊形．
因為BD⊥AC，而AC為EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD．
因為BF=DH，所以FH∥BD．
因此，FH⊥EG．
所以四邊形EFGH是菱形．
（Ⅱ）連接CE、CF、CH、CA，則V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE∵AE=1，BF=DH=2，CG=3且幾何體是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分，∴該幾何體的體積為，
同理，得V_C-ADHE=1
所以，V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE=4-1-1=2，
即幾何體C-EFGH的體積為2．
分析：（I）由題意及圖形因為平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分別交平面ABFE、平面CDHG于直線EF、GH，所以EF∥GH，又因為BD⊥AC，而AC為EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD，BF=DH，所以FH∥BD，利用直線成角的定義即可；
（II）連接CE、CF、CH、CA，則V_C-EFGH=V-V_C-ABFE-V_C-ADHE，AE=1，BF=DH=2，CG=3幾何體是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分，所以該幾何體的體積利用體積具有分割法即可求得．
點評：此題考查了面面平行的性質定理，平行四邊形的判定三垂線定理及直線所成的角，棱錐的體積公式及體積分割的原理．