Question

已知圓經過點A（2，-1）且與直線x-y-1=0相切，圓心在直線2x+y=0上，求此圓的方程．

Answer 1

分析：設圓心坐標為（a，b），由圓心在直線2x+y=0上，把設出的圓心坐標代入得到關于a與b的關系，用a表示出b，由圓經過A且與直線x-y-1=0相切，利用兩點間的距離公式求出圓心到A點間的距離，即為圓的半徑，同時根據直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線x-y-1=0的距離，等于圓的半徑，又列出關于a與b的關系式，把表示出的b代入得到關于a的方程，求出方程的解得到a的值，進而求出b的值，確定出圓心坐標，把a與b代入表示出的半徑，確定出半徑，由圓心和半徑即可得到圓的標準方程．

解答：解：設圓心坐標為（a，b），
∵圓心在直線2x+y=0上，
∴2a+b=0，即b=-2a，
又圓經過點A（2，-1）且與直線x-y-1=0相切，
∴

(a-2)2+(b+1)2

=

|a-b-1|

2

，即2（a-2）²+2（b+1）²=（a-b-1）²，①
把b=-2a代入①得：2（a-2）²+2（-2a+1）²=（3a-1）²，
整理得：a²-10a+9=0，即（a-1）（a-9）=0，
解得：a=1或a=9，
此時b=-2或-18，
∴圓心坐標為（1，-2）或（9，-18），
此時圓的半徑為

2

或13

2

，
則圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=2或（x-9）²+（y+18）²=338．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，以及圓的標準方程，其中直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練運用此性質是解本題的關鍵．