Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂．點P（a，b）滿足|PF₂|=|F₁F₂|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）設直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF₂與圓（x+1）²+(y-

3

)2=16相交于M，N兩點，且|MN|=

5

8

|AB|，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用|PF₂|=|F₁F₂|，對應的方程整理后即可求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）先把直線PF₂與橢圓方程聯立求出A，B兩點的坐標以及對應的|AB|兩點，進而求出|MN|，再利用弦心距，弦長以及圓心到直線的距離之間的等量關系，即可求橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）設F₁（-c，0），F₂（c，0）    （c＞0）．
由題得|PF₂|=|F₁F₂|，即

(a-c)2+b2

=2c，整理得2(

c

a

)2+

c

a

-1=0，得

c

a

=-1（舍），或

c

a

=

1

2

，
所以e=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=

3

c，可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²，直線方程PF₂為y=

3

（x-c）．
A，B的坐標滿足方程組

3x2+4y2=12c2 y= 3 (x-c)

，
消y并整理得5x²-8xc=0，
解得x=0，x=

8

5

c，得方程組的解為

x=0 y=- 3

c，

x= 8 5 c y= 3 3 5 c

，
不妨設A（

8

5

c，

3 3

5

c），B（0，-

3

c）．
所以|AB|=

( 8 5 )2+( 3 3 c 5 + 3 c) 2

=

16

5

c，于是|MN|=

5

8

|AB|=2c．
圓心（-1，

3

）到直線PF₂的距離d=

|- 3 - 3 - 3 c|

2

，
因為d²+(

|MN|

2

)2=4²，所以

3

4

（2+c）²+c²=16，整理得c=-

26

7

（舍）或c=2．
所以橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．

點評：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質，直線的方程，兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查解決問題的能力和運算能力．