Question

如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于同一個平面.

已知:直線a∥直線b,a⊥平面α,

求證:b⊥α.

Answer 1

證法一:如下圖，在α內(nèi)任取一條直線g.

∵a⊥α,gα,∴a⊥g.

∵a∥b,∴b⊥g.

    由直線和平面垂直的定義知b⊥α.

證法二:如下圖設m、n是α內(nèi)的兩條相交直線.

∵a⊥α,m、nα,∴a⊥m,a⊥n.

∵a∥b,∴b⊥m,b⊥n.

    由直線和平面垂直的判定定理知b⊥α.

證法三：如下圖，假設b和α不垂直,則在α內(nèi)至少有一條直線c和b不垂直.

∵a⊥α,∴a⊥c.

∵a∥b,∴b⊥C.

這與b和C不垂直矛盾.

∴b⊥α.

點評:利用定義證明直線和平面垂直時,需在平面內(nèi)任取一條直線;利用判定定理證明直線和平面垂直時,需在平面內(nèi)取兩條相交直線.證直線和平面垂直,最后都轉(zhuǎn)化成了證直線和直線垂直.本例的結(jié)論也是判定直線和平面垂直的一種方法.