Question

如圖，在△ABC中，|AB|＝|AC|＝，|BC|＝2，以B、C為焦點(diǎn)的橢圓恰好過AC的中點(diǎn)P．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓的右頂點(diǎn)A₁作直線l與圓E：(x－1)²＋y²＝2相交于M、N兩點(diǎn)，試探究點(diǎn)M、N能將圓E分割成弧長(zhǎng)比值為1∶3的兩段弧嗎？若能，求出直線l的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵∴ 　　　2分 　　∴∴　4分 　　依橢圓的定義有： 　　∴，　6分 　　又，∴　7分 　　∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　8分 　　(求出點(diǎn)p的坐標(biāo)后，直接設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出橢圓方程，也可以給滿分．) 　　(2)橢圓的右頂點(diǎn)，圓圓心為，半徑． 　　假設(shè)點(diǎn)、能將圓分割成弧長(zhǎng)比值為的兩段弧， 　　則，圓心到直線的距離　10分 　　當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為， 　　此時(shí)圓心到直線的距離(符合)　11分 　　當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，即， 　　∴圓心到直線的距離，無(wú)解　13分 　　綜上：點(diǎn)M、N能將圓分割成弧長(zhǎng)比值為的兩段弧，此時(shí)方程為　14分．