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已知x，y，z∈R+且x+y+z=1，求證：
x
+
y
+
z
≤
3
．
分析：利用分析法，將欲證不等式兩邊平方，利用條件，結合基本不等式，即可證得結論．
解答：證明：欲證
x
+
y
+
z
≤
3

只需證x+y+z+2
xy
+2
xz
+2
yz
≤3
∵x+y+z=1
∴只需證
xy
+
xz
+
yz
≤1
∵
xy
≤
x+y
2
，
xz
≤
x+z
2
，
yz
≤
y+z
2

累加可得
xy
+
yz
+
xz
≤1
故得證．
點評：本題考查不等式的證明，考查分析法的運用，考查基本不等式，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

11、已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，則x+2y+2z的最大值為
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x2+y2+z2+3≥2（x+y+z）；（2）
x+y
2
≥
xy
；（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x2+y2+z2≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

[選做題]在下面A，B，C，D四個小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使CD=AC，連接AD交⊙O于點E，連接BE與AC交于點F，判斷BE是否平分∠ABC，并說明理由．
B．選修4-2：短陣與變換
已知矩陣M=
1
2
0
02
，矩陣M對應的變換把曲線y=sinx變為曲線C，求C的方程．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程是ρ=4sin(θ+
π
4
)，求曲線C的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•東城區一模）已知x，y，z∈R，若-1，x，y，z，-3成等差數列，則x+y+z的值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=
1
2
，證明：x，y，z∈[0，
2
3
]．

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