Question

(2006·湖南)已知橢圓：，拋物線：(p＞0)，且，的公共弦AB過橢圓的右焦點(diǎn)．

(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線的焦點(diǎn)是否在直線AB上；

(2)是否存在m、p的值，使拋物線的焦點(diǎn)恰在直線AB上?若存在，求出符合條件的m，p的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱， ∴m=0，直線AB的方程為x=1． ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為或． ∵點(diǎn)A在拋物線上，∴，即． 此時(shí)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，該焦點(diǎn)不在直線AB上． (2)假設(shè)存在m，p的值使的焦點(diǎn)恰在直線AB上，由(1)知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為y=k(x－1)． 由消去y得 ．　　　　　　　　① 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，， 則、是方程①的兩根，． 由消去y，得．② 因?yàn)?/FONT>的焦點(diǎn)F在y=k(x－1)上， 所以，即，代入②有． 即．　　　　　　　　③ 因?yàn)?/FONT>，也是方程③的兩根，所以． 從而，．　④ 又AB過、的焦點(diǎn)，所以 ． 則．　　⑤ 由④⑤得 ， 即，解得．即． 因?yàn)?/FONT>的焦點(diǎn)在直線y=k(x－1)上， 所以．即或． 當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為； 當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為．