Question

（本題滿分12分）

設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交A,B且

？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由。

七彩教育網(www.7caiedu.cn)

 

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．

【解析】

試題分析：（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,

則△=,即

，

 

要使,需使,即,所以,所以又,

所以,所以,即或,

因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,,,

所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,

而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,

綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．

考點：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，圓與橢圓的位置關系。

點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往要利用韋達定理。存在性問題，往往從假設存在出發，運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備。（2）小題解答中，集合韋達定理，應用平面向量知識證明了圓的存在性。