Question

已知cosB=cosθ•sinA，cosC=sinθsinA．求證：sin²A+sin²B+sin²C=2．

Answer 1

分析：由題設條件可求得cosθ和sinθ，平方相加利用二倍角公式進行化簡，最后可證明結論．

解答：證明：由已知式可得cosθ=

cosB

sinA

，sinθ=

cosC

sinA

．
平方相加得cos²B+cos²C=sin²A
∴

1+cos2B

2

+

1+cos2C

2

=sin²A
∴cos2B+cos2C=2sin²A-2．
1-2sin²B+1-2sin²C=2sin²A-2，
∴sin²A+sin²B+sin²C=2．

點評：本題主要考查了三角函數恒等式的證明．證明的關鍵是從條件與要證的結論之間的聯系入手，將結論中的sin²B、sin²C都統一成角A的三角函數．