Question

14、若點集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，則
（1）點集P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的區域的面積為

π

；
（2）點集M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的區域的面積為

12+π

．

Answer 1

分析：（1）利用x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A，把x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得點集P表示區域，可求面積．
（2）和（1）類似，把x₁，y₁代入x²+y²≤1，得（x-x₁）²+（y-y₁）²≤1說明它的軌跡圖形，也可以求出面積．

解答：解：（1）P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}
∵（x₁，y₁）∈A
∴（x₁）²+（y₁）²≤1
而x₁=x-1，y₁=y-1
∴（x-1）²+（y-1）²≤1
則P={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤1}
表示的區域是以（1，1）為圓心，半徑=1的圓，面積為π．

（2）M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}
A所表示的區域是以（0，0）為圓心，半徑=1的圓，
B所表示的區域是以（1，1）（1，-1）（-1，-1）（-1，1）為頂點的正方形，
把x₁，y₁代入x²+y²≤1，
∴（x-x₁）²+（y-y₁）²≤1
M所表示的區域是A的圓心在正方形B的邊上移動，圓所覆蓋的區域．
M的面積為12+π
故答案為：（1）π（2）12+π

點評：本題考查二元一次不等式組與平面區域的關系問題，考查轉化的數學思想，難度較大．