Question

（幾何證明選講選做題）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，FC．
（1）求證：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=3

3

，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）證明FB=FC，即證∠FBC=∠FCB，利用AD平分∠EAC，四邊形AFBC內接于圓，可證得；
（2）先計算得∠ACD=90°，∠DAC=60°，∠D=30°，在Rt△ACB中，求AC的長，在Rt△ACD中，求AD的長．

解答：（1）證明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；
∵四邊形AFBC內接于圓，∴∠DAC=∠FBC； …2′
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC．…5
（2）解：∵AB是圓的直徑，∴∠ACD=90°
∵∠EAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠D=30°…7′
在Rt△ACB中，∵BC=3

3

，∠BAC=60°，∴AC=3
又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，∴AD=6  …10′

點評：本題考查幾何證明選講，考查圓內接四邊形的性質，屬于基礎題．