Question

設直線y=kx+1與圓C：x²+y²-2kx-2my-7=0交于M，N兩點，且M，N關于直線x+y=0對稱，
（Ⅰ）求m，k的值；
（Ⅱ）若直線x=ay+1與C交P，Q兩點，是否存在實數a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由M，N關于直線x+y=0對稱，可知所求的直線的斜率k=1
∵根據圓的性質可得直線y+x=0過圓的圓心C（1，m）
∴m=-1
（Ⅱ）把x=ay+1代入（x-1）²+（y+1）²=9得（1+a²）y²+2y-8=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
若OP⊥OQ，則有x₁x₂+y₁y₂=（ay₁+1）（ay₂+1）+y₁y₂=（1+a²）y₁y₂+a（y₁+y₂）+1=
即7a²+2a+7=0，方程無實數根，所以滿足條件的實數a不存在．
分析：（Ⅰ）由M，N關于直線x+y=0對稱，可知所求的直線的斜率k=1，根據圓的性質可得直線y+x=0過圓的圓心C（1，m）代入可求m
（Ⅱ）把x=ay+1代入（x-1）²+（y+1）²=9得（1+a²）y²+2y-8=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，若OP⊥OQ，則有x₁x₂+y₁y₂=0，代入整理可求
點評：本題主要考查了直線與圓的方程的性質的應用，解（I）的關鍵是根據圓的性質可得直線x+y=0過圓心的條件，而
（II）是直線與圓的一般類型的試題，體現了方程的思想的應用．