Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，BA=BC=1，點D、E分別在邊AC、AB上，且ED∥BC，F是BC中點，則數量積

DE

•

DF

的最小值為

-

1

16

．

Answer 1

分析：設

AD

=λ

AC

，（0＜λ＜1），取

AC

，

AB

為基向量，表示出向量

DE

，

DF

，進而得到數量積

DE

•

DF

，利用二次函數的性質可得答案．

解答：解：由∠B=90°，BA=BC=1，得AC=

2

，
設

AD

=λ

AC

，（0＜λ＜1），
則

DE

=λ

CB

=λ（

AB

-

AC

），

DF

=

DC

+

CF

=（1-λ）

AC

+

1

2

CB

=（1-λ）

AC

+

1

2

（

AB

-

AC

）=（

1

2

-λ）

AC

+

1

2

AB

，
又

.

AC

•

AB

=

2

×1×cos45°=1，
所以

DE

•

DF

=λ（

AB

-

AC

）•[（

1

2

-λ）

AC

+

1

2

AB

]=λ2-

1

2

λ=(λ-

1

4

)2-

1

16

，
當λ=

1

4

時，

DE

•

DF

取最小值為-

1

16

，
故答案為：-

1

16

．

點評：本題考查平面向量數量積的運算、向量在幾何中的應用，考查學生推理論證能力．