Question

給定整數n≥2，設M₀（x₀，y₀）是拋物線y²=nx-1與直線y=x的一個交點．試證明對任意正整數m，必存在整數k≥2，使（

x

m0

，y

m0

）為拋物線y²=kx-1與直線y=x的一個交點．

Answer 1

證明：y²=nx-1與y=x聯立，可得x²-nx+1=0，∴x=

n± n2-4

2

∴x₀=y₀=

n± n2-4

2

．
∴x₀+

1

x0

=n≥2．…（5分）
若（

x

m0

，

y

m0

）為拋物線y²=kx-1與直線y=x的一個交點，則k=

x

m0

+

1

x m0

．…（10分）
記k_m=

x

m0

+

1

x m0

，由于k₁=n是整數，k₂=

x

20

+

1

x 20

=（x₀+

1

x0

）²-2=n²-2也是整數，
且k_m+1=k_m（x₀+

1

x0

）-k_m-1=nk_m-k_m-1，（m≥2）①
所以對于一切正整數m，k_m=

x

m0

+

1

x m0

是正整數，且k_m≥2現在對于任意正整數m，
取k=

x

m0

+

1

x m0

，滿足k≥2，且使得y²=kx-1與y=x的交點為（

x

m0

，

y

m0

）．…（12分）