Question

已知橢圓的右頂點A為拋物線y²=8x的焦點，上頂點為B，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，若線段PQ的中點橫坐標是，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）拋物線y²=8x的焦點為A（2，0），
∵橢圓的右頂點A為拋物線y²=8x的焦點
∴a=2…（2分）
∵離心率，∴…（3分）
故b²=a²-c²=1…（5分）
所以橢圓C的方程為：…（6分）
（2）設直線
由，消去y可得…（8分）
因為直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，所以△=128k²-16（4k²+1）＞0
解得…（9分）
又…（10分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點M（x₀，y₀）
因為線段PQ的中點橫坐標是，所以…（12分）
解得k=1或…（13分）
因為，所以k=1
因此所求直線…（14分）
分析：（1）利用橢圓的右頂點A為拋物線y²=8x的焦點，確定a的值，根據離心率，可得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的標準方程；
（2）直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，根據線段PQ的中點橫坐標是，即可求得直線l的方程．
點評：本題考查拋物線的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．