Question

定義在R上的單調函數f（x）滿足f（3）=tan

4π

3

且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求證f（x）為奇函數；
（Ⅱ）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過賦值，令x=y=0得f（0）=0；再令y=-x可得f（x）+f（-x）=0，從而可證f（x）為奇函數；
（Ⅱ）利用f（3）=

3

＞0=f（0），f（x）在R上是單調函數知，f（x）在R上是增函數，再利用f（x）是奇函數，可將f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0轉化為k•3^x＜-3^x+9^x+2，通過分離參數k，利用恒成立問題，借助基本不等式即可求得k的取值范圍．

解答：（Ⅰ）證明：令x=y=0得：f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0；
再令y=-x得：f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為R上的奇函數，f（0）=0；
（Ⅱ））∵f（3）=tan

4π

3

=

3

＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是單調函數，
∴f（x）在R上是增函數，又f（x）是奇函數，
∴f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0?f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分離系數得：k＜-1+t+

2

t

，
問題等價于k＜-1+t+

2

t

對任意t＞0恒成立．
∵-1+t+

2

t

≥-1+2

2

，
∴k＜-1+2

2

．
∴實數k的取值范圍為（-∞，-1+2

2

）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數單調性與奇偶性的判定，函數單調的判定是難點，考查等價轉化思想與綜合運算求解能力，屬于難題．