Question

已知數列{a_n}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（2n-1）a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，即可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，①
∴當n≥2時，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

，②
①-②得，2n-1an=

1

2

，∴an=

1

2n

(n≥2)，③
又∵a1=

1

2

也適合③式，∴an=

1

2n

(n∈N*)．
（2）由（1）知bn=(2n-1)•

1

2n

，∴Sn=1•

1

2

+3•

1

22

+5•

1

23

+…+(2n-1)•

1

2n

，④

1

2

Sn=1•

1

22

+3•

1

23

+5•

1

24

+…+(2n-1)•

1

2n+1

，⑤
④-⑤得，

1

2

Sn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

)-(2n-1)•

1

2n+1

=

1

2

+2•

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(2n-1)•

1

2n+1

=

1

2

+1-

1

2n-1

-(2n-1)•

1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴S_n=3-

2n+3

2n

．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，正確運用錯位相減法是解題的關鍵．