Question

【題目】三棱柱中，平面平面，，，，點F為棱的中點，點E為線段上的動點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）首先根據(jù)題意得到，利用平面平面的性質得到平面，從而得到，根據(jù)勾股定理得到，從而得到，利用線面垂直的判定得到平面，從而證明.

（2）以點為原點，以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角的余弦值即可.

（1）因為，為中點，所以.

因為平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，而平面，故，

又因為，所以，

又因為在三棱柱中，，

所以，，

又，故平面，

又平面，所以.

（2）以點為原點，以，，為，，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

設，由得：，

又，設平面的法向量為，

，

因為，

設直線與平面所成角為，則，

解得：.

又平面的一個法向量，

又，

，

設平面的一個法向量為，

則，

則平面的一個法向量為

設二面角的平面角為，

則，

又因為二面角的平面角為銳角，

則二面角的余弦值為.