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（1）如果兩個實數u＜v，求證： $數學公式$ ．
（2）定義　設函數F（x）和f（x）都在區間I上有定義，若對I的任意子區間[u，v]，總有[u，v]上的p和q，使有不等式 $數學公式$ 成立，則稱F（x）是f（x）在區間I上的甲函數，f（x）是F（x）在區間I上的乙函數．
請根據乙函數定義證明：在（0，+∞）上，函數 $數學公式$ 是 $數學公式$ 的乙函數．

解：（1）證：由u＜v有 2u＜u+v＜2v．即 $\text{[math]}$
（2 ）證明：對0＜u＜v有 $\text{[math]}$
不等式 $\text{[math]}$
表明， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的乙函數．
分析：（1）由u＜v有 2u＜u+v＜2v，結合u+v═ $\text{[math]}$ ，可證；
（2）根據f（x）是F（x）在區間I上的乙函數的定義，只需證： $\text{[math]}$ ．
點評：本題以函數為載體，考查新定義，考查新函數的運用，關鍵是理解新定義．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足：①f（0）=0；②?x∈R，f（x）≥x；③f（-

+x）=f（-

-x）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）試討論函數g（x）=f（x）-2x在區間[-2，2]內的單調性；
（3）是否存在實數t，使得函數h（x）=f（x）-x²-x+t與函數u（x）=|log₂x|（x∈（0，2]）的圖象恒有兩個不同交點，如果存在，求出相應t的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）如果兩個實數u＜v，求證：2u＜

v2-u2

v-u

＜2v．
（2）定義設函數F（x）和f（x）都在區間I上有定義，若對I的任意子區間[u，v]，總有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤

F(u)-F(v)

u-v

≤f(q)成立，則稱F（x）是f（x）在區間I上的甲函數，f（x）是F（x）在區間I上的乙函數．
請根據乙函數定義證明：在（0，+∞）上，函數g(x)=

是f(x)=

的乙函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•金山區二模）（1）設u、v為實數，證明：u²+v²≥

(u+v)2

；（2）請先閱讀下列材料，然后根據要求回答問題．
材料：已知△LMN內接于邊長為1的正三角形ABC，求證：△LMN中至少有一邊的長不小于

．
證明：線段AN、AL、BL、BM、CM、CN的長分別設為a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，設LN、LM、MN的長為x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
請利用（1）的結論，把證明過程補充完整；
（3）已知n邊形A₁′A₂′A₃′…A_n′內接于邊長為1的正n邊形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考會有相應的什么結論？請提出一個的命題，并給與正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（1）如果兩個實數u＜v，求證：2u＜

v2-u2

v-u

＜2v．
（2）定義設函數F（x）和f（x）都在區間I上有定義，若對I的任意子區間[u，v]，總有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤

F(u)-F(v)

u-v

≤f(q)成立，則稱F（x）是f（x）在區間I上的甲函數，f（x）是F（x）在區間I上的乙函數．
請根據乙函數定義證明：在（0，+∞）上，函數g(x)=

是f(x)=

的乙函數．

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