Question

（2012•北京）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（2，0），離心率為

2

2

，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M，N，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當△AMN的面積為

10

3

時，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為

2

2

，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）與橢圓C聯立

y=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離，利用△AMN的面積為

10

3

，可求k的值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為

2

2

，
∴

a=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

∴b=

2

∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）與橢圓C聯立

y=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-4

1+2k2

∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 (1+k2)(4+6k2)

1+2k2

∵A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離為d=

|k|

1+k2

∴△AMN的面積S=

1

2

|MN|d=

|k| 4+6k2

1+2k2

∵△AMN的面積為

10

3

，
∴

|k| 4+6k2

1+2k2

=

10

3

∴k=±1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是正確求出|MN|．