Question

已知函數f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）求函數的值域；
（2）判斷并證明函數的單調性．

Answer 1

分析：（1）利用有界法求解，將函數看作方程，解得2x=

1+y

1-y

，再由2^x＞0，解得y的范圍，即為所求．
（2）先對函數作適當變形，再利用定義證明，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，與零比較，由定義得到結論．

解答：解：（1）∵2x=

1+y

1-y

，
又2^x＞0，即

1+y

1-y

＞0，
解可得-1＜y＜1
函數f（x）的值域為（-1，1）
（2）函數f（x）在x∈R上為單調增函數
證明：f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在定義域中任取兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
從而f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函數f（x）在x∈R上為單調增函數．

點評：本題主要考查函數值域的求法和單調性的證明，值域常見方法有單調性法，基本函數法，有界性法，判別式法等，證明單調性一般有定義法，導數法．