Question

為了能更好地了解鯨的生活習性，某動物研究所在受傷的鯨身上安裝了電子監測裝置．從海岸放歸點A處（如圖所示）把它放歸大海，并沿海岸線由西向東不停地對鯨進行了40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點測得數據如下表（設鯨沿海面游動）．然后又在觀測站B處對鯨進行生活習性的詳細觀測．已知AB=15km，觀測站B的觀測半徑為5km．


（Ⅰ）根據表中數據：①計算鯨沿海岸線方向運動的速度，②寫出a、b滿足的關系式并畫出鯨的運動路線簡圖；
（Ⅱ）若鯨繼續以（Ⅰ）中②的運動路線運動，則鯨大約經過多少分鐘（從放歸時計時），可進入前方觀測站B的觀測范圍（精確到1分鐘）？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由表中數據知：①鯨沿海岸線方向運行的速度為（km/分鐘），②a、b滿足的關系式為，由此能作出鯨的運動路線圖．
（Ⅱ）設鯨所在的位置為點P，點P位于點C的正北方向bkm，點C位于點A的正東方向akm．由，AB=15km，依題意，當鯨到觀測站B的距離不大于5時進入觀測站B的觀測范圍，所以．由此能求出鯨大約經過113分鐘進入B站的觀測范圍．
解答：解：（Ⅰ）由表中數據知：
①鯨沿海岸線方向運行的速度為（km/分鐘），
②a、b滿足的關系式為，
鯨的運動路線圖如圖1：

（Ⅱ）如圖2，設鯨所在的位置為點P，
點P位于點C的正北方向bkm，
點C位于點A的正東方向akm
由（Ⅰ）知．
又AB=15km，依題意，當鯨到觀測站B的距離不大于5時進入觀測站B的觀測范圍，
∴，
∴（a-15）²+a≤25，
即 a²-29a+200≤0，
∴11.3≤a≤17.7．
故鯨從A點進入前方觀測站B所用的時間大約為（分鐘）．
答：鯨大約經過113分鐘進入B站的觀測范圍．
點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．