Question

某工廠為了提高經濟效益，決定花5600千元引進新技術，同時適當進行裁員．已知這家公司現有職工m人，每人每年可創利100千元．據測算，若裁員人數不超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利1千元；若裁員人數超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利2千元．為保證公司的正常運轉，留崗的員工數不得少于現有員工人數的75%．為保障被裁員工的生活，公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費．
（1）若m=400時，要使公司利潤至少增加10%，那么公司裁員人數應在什么范圍內？
（2）若m=20k，且15＜k＜50，為了獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件，當m=400時，我們根據若裁員人數超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利2千元．為保證公司的正常運轉，留崗的員工數不得少于現有員工人數的75%．設該公司應裁員x人，我們分0≤x≤80，80≤x≤100兩種情況分析討論公司所獲利潤，然后列出公司利潤至少增加10%的對應的不等式，解不等式，即可得到公司裁員人數的取值范圍．
（2）當m=20k，時，我們根據（1）中的分析，分0≤x≤4k，4k＜x≤5k，兩種情況分析討論公司所獲利潤，然后在構造出公司利潤與栽員人數之間的分段函數的解析式，然后在每一段上，分析函數的最值，進而得到合理的裁員方案．
解答：解：設該公司應裁員x人，x∈N^*，所獲得利潤為y．
（1）m=400時，若0≤x≤80
公司所獲利潤y=（400-x）（100+x）-20x-5600
要使公司利潤至少增加10%那么（400-x）（100+x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x²-280x+9600≤0又0≤x≤80所以40≤x≤80．
若80≤x≤100公司所獲利潤y=（400-x）（100+2x）-20x-5600
要使公司利潤至少增加10%那么（400-x）（100+2x）-20x-5600≥400×100×（1+10%）x²-340x+4800≤0它在80≤x≤100時成立
所以40≤x≤100時公司利潤至少增加10%．
（2）設公司裁員x人，所獲得利潤為y千元．則

=
=
設f₁（x）=-（x-（10k-60））²+2000k-5600+（10k-60）²，0≤x≤4k，
因為10k-60＞150-60=90＞4k．所以當x=4k時，函數f₁（x）取最大值為：
f₁（x）_max=64k²+80k-5600．
設f₂（x）=-2（x-（10k-30））²+2000k-5600+2（10k-30）²，4k＜x≤5k，
因為10k-30＞150-30=120＞5k．所以當x=5k時，函數f₂（x）取最大值為：
f₁（x）_max=150k²+50k-5600．f₂（x）-f₁（x）=86k²-30k＞0．
所以當x=5k時公司可獲得最大利潤．
點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．