Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB=4，G為PD中點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（Ⅰ）求證：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求點G到平面PEC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AG⊥平面PCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AG與平面PCD內兩相交直線垂直，根據CD⊥AD，CD⊥PA，可證得CD⊥平面PAD，從而CD⊥AG，又PD⊥AG滿足線面垂直的判定定理條件；
（Ⅱ）欲證AG∥平面PEC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AG與平面PEC內一直線平行，作EF⊥PC于F，根據面面垂直的性質可知EF⊥平面PCD，而AG⊥平面PCD，則EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，滿足定理所需條件；
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G兩點到平面PEC的距離相等先求出V_P-AEC的體積，再根據V_P-AEC=V_A-PEC建立等式關系，從而求出G點到平面PEC的距離．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD（4分）
（Ⅱ）證明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，
∴AG∥平面PEC（7分）
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G兩點到平面PEC的距離相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF，∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE=GF（8分）
PA=AB=4，G為PD中點，FG

∥ .

.

1

2

CD
∴FG=2∴AE=FG=2（9分）
∴VP-AEC=

1

3

(

1

2

•2•4)•4=

16

3

（10分）
又EF⊥PC，EF=AG=2

2

∴S△EPC=

1

2

PC•EF=

1

2

•4

3

•2

2

=4

6

（11分）
又V_P-AEC=V_A-PEC，∴

1

3

S△EPC•h=

16

3

，即4

6

h=16，∴h=

2 6

3

∴G點到平面PEC的距離為

2 6

3

．（13分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定和點到平面的距離的度量，同時考查了空間想象能力、運算求解能力、推理論證的能力，屬于中檔題．