Question

設f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若對一切x∈R恒成立，則
①；
②；
③f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
④f（x）的單調遞增區間是；
⑤存在經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交．
以上結論正確的是    （寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

【答案】分析：先化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得到是三角函數的最大值，得到x=是三角函數的對稱軸，將其代入整體角令整體角等于kπ+求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數的性質．
解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ）
∵
∴2×+θ=kπ+
∴θ=kπ+
∴f（x）═sin（2x+kπ+）=±sin（2x+）
對于①=±sin（2×+）=0，故①對
對于②，|f（）|＞|f（）|，故②錯
對于③，f（x）不是奇函數也不是偶函數
對于④，由于f（x）的解析式中有±，故單調性分情況討論，故④不對
對于⑤∵要使經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交，則此直線須與橫軸平行，
且|b|＞，此時平方得b²＞a²+b²這不可能，矛盾，
∴不存在經過點（a，b）的直線于函數f（x）的圖象不相交故⑤錯
故答案為：①③．
點評：本題考查三角函數的對稱軸過三角函數的最值點、考查研究三角函數的性質常用整體處理的思想方法．