Question

如圖已知四棱錐P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠A=90°且AB∥CD，AB=CD.

（1）點F在線段PC上運動，且設=λ,問當λ為何值時，BF∥平面PAD？并證明你的結論；

（2）二面角F—CD—B為45°，求二面角B—PC—D的大小；

（3）在（2）的條件下，若AD=2，CD=3，求點A到平面PBC的距離.

Answer 1

解:（1）當λ=1時，BF∥平面PAD.

證明：取PD中點E，則EF∥CD，

且EF=CD,又AB∥CD且AB=CD,

∴四邊形ABFE為平行四邊形.

∴BF∥AE.又AE平面PAD,

∴BF∥平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD,

CD⊥PD,∠PDA即是二面角的平面角∠PDA=45°，

∴△PAD為等腰直角三角形，∴AE⊥PD,∵CD⊥AD,∴AE⊥CD,

∴AE⊥平面PCD.

又BF∥AE，

∴BF⊥平面PCD.∵BF平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B—PC—D的大小為90°.

（3）在平面PCD內作EH⊥PC于點H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD∩平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.

在Rt△PCD中,PC=,

在Rt△PEF 中，EH·PF=PE·EF，將PE=,PF=,EF=代入得

EH=.即點E到平面PBC的距離為.

又∵AE∥BF,∴AE∥平面PBC,

∴點A到平面PBC的距離為.