Question

某品牌專賣店準備在國慶期間舉行促銷活動，根據市場調查，該店決定從2種不同型號的洗衣機，2種不同型號的電視機和種不同型號的空調中（不同種商品的型號不同），選出4種不同型號的商品進行促銷，該店對選出的商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現價的基礎上將價格提高150元，同時，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都獲得m元獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是，設顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額（單位：元）為隨機變量X．
（Ⅰ）求選出的4種不同型號商品中，洗衣機、電視機、空調都至少有一種型號的概率；
（Ⅱ）請寫出X的分布列，并求X的數學期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，問該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎獎金要低于多少元？

Answer 1

解：（Ⅰ）設選出的4種不同型號商品中，洗衣機、電視機、空調都至少有一種型號為事件A；
則 （4分）
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m．
則P（X=0）=，P（X=m）=，
P（X=2m）=，P（X=3m）= （8分）
所以，顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額K的分布列為：

X	0	m	2m	3m
P

（9分）
于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的數學期望是EX=0×+m×+2m×+3m×=1.5m． （10分）
（Ⅲ）要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的數學期望低于商場的提價數額，因此應有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中獎獎金要低于100元，才能使促銷方案對商場有利．（12分）
分析：（Ⅰ）求選出的4種不同型號商品中，洗衣機、電視機、空調都至少有一種型號包括洗衣機、電視機各一種型號，空調兩種型號；洗衣機兩種型號，電視機、空調各一種型號；電視機兩種型號，洗衣機、空調各一種型號，從而可求概率；
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m，分別求出相應的概率，即可寫出X的分布列，利用期望公式可求X的數學期望；
（Ⅲ）要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的數學期望低于商場的提價數額，故可建立不等式，由此可求每次中獎最低獎金．
點評：本題考查利用概率知識解決實際問題，考查分類討論的數學思想，考查數學期望的計算，確定X的所有可能的取值是解題的關鍵．