Question

如圖，現有一個以∠AOB為圓心角、湖岸OA與OB為半徑的扇形湖面AOB．現欲在弧AB上取不同于A，B的點C，用漁網沿著弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半徑OC和線段CD（其中CD∥OA），在該扇形湖面內隔出兩個養殖區域--養殖區域Ⅰ和養殖區域Ⅱ．若OA=1cm，∠AOB=

π

3

，∠AOC=θ．
（1）用θ表示CD的長度；
（2）求所需漁網長度（即圖中弧AC、半徑OC和線段CD長度之和）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定∠COD，再在△OCD中，利用正弦定理，可求CD的長度；
（2）根據所需漁網長度，即圖中弧AC、半徑OC和線段CD長度之和，確定函數的解析式，利用導數確定函數的最值，即可求得所需漁網長度的取值范圍．

解答：解：（1）由CD∥OA，∠AOB=

π

3

，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=

2π

3

，∠COD=

π

3

-θ．
在△OCD中，由正弦定理，得CD=

2

3

sin（

π

3

-θ），θ∈（0，

π

3

）（6分）
（2）設漁網的長度為f（θ）．
由（1）可知，f（θ）=θ+1+

2

3

sin（

π

3

-θ）．（8分）
所以f′（θ）=1-

2

3

cos（

π

3

-θ），因為θ∈（0，

π

3

），所以

π

3

-θ∈（0，

π

3

），
令f′（θ）=0，得cos（

π

3

-θ）=

3

2

，所以

π

3

-θ=

π

6

，所以θ=

π

6

．

θ	（0， π 6 ）	π 6	（ π 6 ， π 3 ）
f′（θ）	+	0	-
f（θ）		極大值

所以f（θ）∈（2，

π+6+2 3

6

]．
故所需漁網長度的取值范圍是（2，

π+6+2 3

6

]．（14分）

點評：本題考查正弦定理的運用，考查函數模型的構建，考查利用導數確定函數的最值，確定函數的解析式是關鍵．