Question

設函數f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0．若對一切x∈R恒成立，則
①；
②；
③存在a，b使f（x）是奇函數；  
④f（x）的單調增區間是[2k；
⑤經過點（a，b）的所有直線與函數f（x）的圖象都相交．
以上結論正確的是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據已知條件求出函數f（x）的解析式，進而即可判斷出答案．
解答：解：由題意函數f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0．若對一切x∈R恒成立，
可知：當時，函數f（x）取得最值，即，化為．
∴f（x）====，
∴．（b≠0）．
①由上面可知：=2bsinπ=0，因此正確；
②∵==，==，
又，b≠0．
∴，故正確．
③∵f（0）=b≠0，故不存在實數a、b使得函數f（x0為奇函數，因此不正確；
④其單調區間與b的正負有關系，因此分別討論，故④不正確；
⑤由，可知函數f（x）的值域為[-2|b|，2|b|]，因此經過點（a，b）的所有直線與函數f（x）的圖象都相交，正確．
綜上可知：只有①②⑤正確．
故答案為①②⑤．
點評：熟練掌握三角函數的圖象與性質是解題的關鍵．