Question

已知函數f(x)=x3-ax2-3x.

（1）若f(x)在區間［1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；

（2）若x=-是f(x)的極值點，求f（x）在［1，a］上的最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在實數b，使得函數g（x）=bx的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）a≤0

（2）f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6

（3）存在，理由略

【解析】解 （1）=3x2-2ax-3,∵f(x)在［1，+∞）上是增函數,

∴在［1，+∞）上恒有≥0，                   ---------2分

即3x2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.則必有≤1且=-2a≥0, ,--------4分

  ∴a≤0.                                               ------------5分

  (2）依題意， =0，即+a-3=0,∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x. ----------7分

  令=3x2-8x-3=0，得x1=-，x2=3.則當x變化時，,f(x)的變化情況如下表：

x	1	(1,3)	3	(3,4)	4
		-	0	+
f(x)	-6	↘	-18	↗	-12

                                                             ----9分

 ∴f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6.               -----------10分

（3）函數g(x)=bx的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3個不等實根∴x3-4x2-3x-bx=0，∴x=0是其中一個根       -------------12分

  ∴方程x2-4x-3-b=0有兩個非零不等實根，∴

∴存在符合條件的實數b，b的范圍為b>-7且b≠-3.     -----------14分