Question

【題目】在直三棱柱中，且，設(shè)其外接球的球心為O，已知三棱錐的體積為2.則球O的表面積的最小值是（）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

設(shè)，球的半徑為R，因?yàn)榈酌婢鶠橹苯侨�角形，故外接球的球心為兩個(gè)底面三角形外接圓圓心的連線的中點(diǎn)，如圖中O點(diǎn)為三棱柱外接球的球心．根據(jù)三棱錐OABC的體積為2，可得，接著表示出R，根據(jù)基本不等式可得到球的表面積的最小值．

如圖，在中，

設(shè)，則，取的中點(diǎn)分別為則分別為和的外接圓的圓心，連接，又直三棱柱的外接球的球心為O，則O為的中點(diǎn)，連接OB，則OB為三核柱外接球的半徑。設(shè)半徑為R，因?yàn)橹比�棱�?/span>，所以，所以三棱錐的高為2，即，又三棱錐體積為2，所以.在中，，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以球O的表面積的最小值是，故選B.