Question

由9個正數組成的數陣 每行中的三個數成等差數列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列．給出下列結論：
①第二列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比數列；
②第一列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比數列；
③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；
④若9個數之和大于81，則a₂₂＞9．
其中正確的序號有    ．（填寫所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】分析：先由題意設列出由9個正數組成的矩陣是：，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正確；再由（a+d）+（c+n）≥2 得到③正確；再根據題設列舉出由9個正數組成的特殊矩陣判斷②正確即可．通過舉反例可得④不正確．
解答：解：由題意設由9個正數組成的矩陣是：，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正確．
由于（a+d）+（c+n）≥2=2（b+m），故③正確．
再題意設由9個正數組成的矩陣是： 故②正確．
對于④，若9個數之和大于81，即3（a+d+b+m+c+n）＞81，∴b+m+a+d+c+n＞27，但不能推出 b+m＞9．
如當a+d=3，b+m=9，c+n=27 時，a₂₂=b+m=9，故④不正確．
綜上可得，正確的序號有①②③，
故答案為 ①②③．
點評：本小題主要考查等比數列的性質、等差數列的性質、三階矩陣等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．