Question

如圖所示，A，B分別是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C點坐標為(－2,0)，平行四邊形OAQP的面積為S.

(1)求·＋S的最大值；
(2)若CB∥OP，求sin的值．

Answer 1

（1）＋1（2）

(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，
因為四邊形OAQP是平行四邊形，
所以＝＋＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)
＝(1＋cos θ，sin θ)．
所以·＝1＋cos θ.
又平行四邊形OAQP的面積為
S＝||·| |sin θ＝sin θ，
所以·＋S＝1＋cos θ＋sin θ＝sin ＋1.
又0<θ<π，
所以當θ＝時，·＋S的最大值為＋1.
(2)由題意，知＝(2,1)，＝(cos θ，sin θ)，
因為CB∥OP，所以cos θ＝2sin θ.
又0<θ<π，cos²θ＋sin²θ＝1，
解得sin θ＝，cos θ＝，
所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝，cos2θ＝cos²θ－sin²θ＝.
所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝.