Question

11、已知定義在（-∞，+∞）上的函數f（x）是奇函數，f（2-x）=f（x），f（1）=1，則f（2010）+f（2013）值為（　�。�

A、-3

B、-2

C、2

D、1

Answer 1

分析：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，我們不難得到函數f（x）是一個周期函數，而且我們可以求出它的最小正周期T，根據周期函數的性質，我們易求出f（2010）+f（2013）的值．

解答：解：∵對任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，
則f（-x）=f（2+x）；
又∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，有f（-x）=f（x）；
即f（2+x）=-f（x）；則有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4
故f（2010）=f（2）=f（2-2）=f（0），f（2013）=f（1）；
又∵定義在R上的奇函數其圖象必過原點
∴f（2010）=0，且f（1）=1
則f（2010）+f（2013）值為1
故選D

點評：利用函數的周期性解題要注意：對于任意實數x，①若f（x+T）=f（x），則T為函數的周期；②若f（x+T）=-f（x），則2T為函數的周期；③若（a，y），（b，y）分別為函數的兩個對稱中心則T=2|（a-b）|④對于任意 $x∈R，f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，則T=2⑤若（a，y）為函數的對稱中心，x=b為函數的對稱軸，則T=4|（a-b）|