Question

16．（1）設(shè)a、b均為正實(shí)數(shù)，求證：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+ab≥2\sqrt{2}$
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a²+b²+c²=4求ab+bc+ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可證明；
（2）利用ab+ac+bc≤a²+b²+c²即可得出．

解答 （1）證明：∵a、b均為正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2}{ab}$，
∵$\frac{2}{ab}$+ab$≥2\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+ab≥2\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）
（2）∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴ab+ac+bc≤a²+b²+c²=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．
∴ab+bc+ca的最大值是4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查不等式的證明，屬于中檔題．