Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

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x²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若f（x）在x=1時(shí)取得極值，且x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，求 c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=x³-

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x²+bx+c，我們可以求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，則f′（x）≥0恒成立，構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）當(dāng)f（x）在x=1時(shí)取得極值時(shí)，則x=1是方程3x²-x+b=0的一個(gè)根，由韋達(dá)定理可以求出方程3x²-x+b=0的另一個(gè)根，進(jìn)而分析出區(qū)間[-1，2]的單調(diào)性，進(jìn)而確定出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]的最大值，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于c的不等式，根據(jù)二次不等式恒成立問題，即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x+b，∵f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0恒成立，∴△=1-12b≤0，解得b≥

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．
∵x∈（-∞，+∞）時(shí)，只有b=

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時(shí)，f′（

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）=0，∴b的取值范圍為[

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，+∞]．
（2）由題意，x=1是方程3x²-x+b=0的一個(gè)根，設(shè)另一根為x₀，
則

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

∴

x0=- 2 3 b=-2

∴f′（x）=3x²-x-2，
列表分析最值：

x	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1 2 +c	遞增	極大值 22 27 +c	遞減	極小值- 3 2 +c	遞增	2+c

∴當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最大值為f（2）=2+c，
∵對(duì)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，∴c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2，
故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題比較綜合的應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于b的不等式，而（2）的關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式恒成立問題．