Question

已知函數，如果函數恰有兩個不同的極值點，，且.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為 函數恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，，則

方程有兩個不同的零點，，構造函數，求導，                         

當時，，是減函數；當時，，是增函數，所以在時取得最小值．∴ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以 ，                     

于是，所以，，所以．所以 當時，，是減函數；當時，，是增函數，所以在上的最小值為，此時.

試題解析：（Ⅰ）∵ 函數恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，

∴ 方程有兩個不同的零點，  

令．

，

當時，，是減函數；

當時，，是增函數，

∴ 在時取得最小值．

∴ ．

（Ⅱ）∵，即，

∴

于是，

∴

∵ ，

∴ ．

∴ 當時，，是減函數；

當時，，是增函數

∴ 在上的最小值為，此時.

考點：1.函數中證明問題；3.函數與不等式的綜合應用.