Question

已知函數f（x）=a+bsinx+ccosx（x∈R）的圖象經過點A（0，1），B(

π

2

，1)，且b＞0，又f（x）的
最大值為2

2

-1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）由函數y=f（x）的圖象經過平移是否能得到一個奇函數y=g（x）的圖象？若能，請寫出平移過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據輔角公式進行化簡，然后根據圖象經過（0，1）、(

π

2

，1)，其最大值為2

2

-1，可得到a，b，c的關系式，即可求出a，b，c的值，從而可確定函數f（x）的解析式．
（2）先根據兩角和與差的正弦公式花間（1）中的解析式得到f（x）=-1+2

2

sin(x+

π

4

)，然后先向上平移1個單位，再向右平移

π

4

個單位即可得到一個奇函數的解析式．

解答：解：（1）f（x）=a+bsinx+ccosx=a+

b2+c2

sin(x+θ)，
又圖象經過（0，1）、(

π

2

，1)，其最大值為2

2

-1．
∴

a+c=1 a+b=1 a+ b2+c2 =2 2 -1

，
解得

a=-1 b=2 c=2

，
∴f（x）=-1+2sinx+2cosx
（2）能．f（x）=-1+2

2

sin(x+

π

4

)，
把f（x）的圖象向上平移1個單位，得y=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象，
把y=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象向右平移

π

4

個單位，得y=2

2

sinx的圖象．
g（x）=2

2

sinx即為一個奇函數

點評：本題主要考查輔角公式、兩角和與差的正弦公式的應用和三角函數的平移．三角函數的平移遵循上加下減、左加右減的原則．