Question

（選做題）選修4-5：不等式選講
已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（Ⅰ）求證：|x₁-x₂|＜2；
（Ⅱ）若f（x）=x²-x+1，求證：|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|≤5|x₁-x₂|．

Answer 1

證明：（I）∵|x₁-x₂|=|（x₁-2）-（x₂-2）|≤|x₁-2|+|x₂-2|＜1+1=2，
∴|x₁-x₂|＜2 成立．
（II）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁²-x₂²-x₁+x₂|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|，∵|x₁-2|＜1，∴-1＜x₁-2＜1，即1＜x₁＜3，
同理1＜x₂＜3，∴2＜x₁+x₂＜6．∵2＜x₁+x₂＜6，∴1＜x₁+x₂-1＜5，
∵0≤|x₁-x₂|＜2，|x₁-x₂|≤|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤5|x₁-x₂|，
∴|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|≤5|x₁-x₂|．
分析：（I）利用|x₁-x₂|=|（x₁-2）-（x₂-2）|≤|x₁-2|+|x₂-2|證明結論．
（II）化簡|f（x₁）-f（x₂）|為|x₁-x₂||x₁+x₂-1|，先證1＜x₁＜3和 1＜x₂＜3，可得 1＜x₁+x₂-1＜5，從而得到
|x₁-x₂|≤|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤5|x₁-x₂|．
點評：本題考查絕對值不等式的性質，不等式的性質，證明1＜x₁+x₂-1＜5 是解題的關鍵．