Question

某種商品在30天內每件的銷售價格P（元）與時間t（t∈N^*）（天）的函數關系用如圖的兩條線段表示，該商品在30天內日銷售量Q（件）與時間t（t∈N^*）（天）之間的關系如下表：

第1天	5	15	20	30
Q件	35	25	20	10

（Ⅰ）根據提供的圖象，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系；
（Ⅱ）根據表中提供的數據，確定日銷售量Q與時間t的一個函數關系式；
（Ⅲ）求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？（日銷售金額=每件的銷售價格×日銷售量）

Answer 1

（I）由已知得：
當0＜t＜25時，設P=kt+b
由圖象過（0，20），（30，70）點可得：

b=20 25k+b=45

解得

k=1 b=20

故P=t+20
當25≤t≤30時，設P=kt+b
由圖象過（25，75），（25，45）點可得：

25k+b=75 30k+b=70

解得

k=-1 b=100

故P=-t+100
綜上所述，商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系為：P=

t+20(0＜t＜25，t∈N*) -t+100(25≤t≤30，t∈N*)

（II）設日銷售量Q與時間t的一個函數關系式為：Q=kt+b
由表格中數據（5，35），（30，10）得

5k+b=35 30k+b=10

解得

k=-1 b=40

故日銷售量Q與時間t的一個函數關系式為：Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*）；
（III）由（I）（II）可得商品的日銷售金額與時間t的函數關系式滿足
y=PQ，即y=

-t2+20t+800，(0＜t＜25，t∈N*) t2-140t+4000，(25≤t≤30，t∈N*)

當0＜t＜25時，t=10時，函數取最大值900
當25≤t≤30時，t=25時，函數取最大值1125
綜上可得：當t=25時，日銷售金額最大，且最大值為1125元．