Question

設函數f（x）=x²-aln（x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）若f'（1）=0，求a的值；
（Ⅱ）當a＜0時，討論函數f（x）在其定義域上的單調性；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數n，不等式ln(n+1)＞

n

k=1

(

1

k2

-

1

k3

)都成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用f'（1）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）求導函數，利用導數的正負，即可求得函數的單調區間；
（Ⅲ）令g（x）=x²-ln（x+1）-x³（0＜x≤1），證明ln（x+1）＞x²-x³，令x=

1

n

，可得ln(1+

1

n

)＞

1

n2

-

1

n3

，即ln(n+1)-lnn＞

1

n2

-

1

n3

，利用疊加法即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：求導函數，可得f′(x)=2x-

a

x+1

∵f′（1）=0，∴2-

a

2

=0，∴a=4；
（Ⅱ）解：當a＜0時，令f′（x）＜0可得-1＜x＜

-1+ 1-2a

2

，令f′（x）＞0可得x＞

-1+ 1-2a

2

，
∴當a＜0時，函數的單調減區間是（-1，

-1+ 1-2a

2

），單調增區間是（

-1+ 1-2a

2

，+∞）；
（Ⅲ）證明：令g（x）=x²-ln（x+1）-x³（0＜x≤1），
則g′（x）=

-3x3-(x-1)2

x+1

，當0＜x≤1時，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上為減函數，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴x²-ln（x+1）-x³＜0
∴ln（x+1）＞x²-x³，
令x=

1

n

，則ln(1+

1

n

)＞

1

n2

-

1

n3

，∴ln(n+1)-lnn＞

1

n2

-

1

n3

∴

n

k=1

(

1

k2

-

1

k3

)＜ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1）
∴不等式ln(n+1)＞

n

k=1

(

1

k2

-

1

k3

)都成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查構造法的運用，考查疊加法，屬于中檔題．