Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正方形，P點在平面ABCD內的射影為A，且PA＝AB＝2，E為PD中點． (1) 證明：PB//平面AEC； (2) 證明：平面PCD⊥平面PAD； (3) 求二面角E－AC－D的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：連結BD交AC于點O，連結EO．……………………1分 O為BD中點，E為PD中點， ∴EO//PB．……………………2分 EO平面AEC，PB平面AEC，……………………3分 ∴PB//平面AEC．……………………4分
(2)	證明：P點在平面ABCD內的射影為A， ∴PA⊥平面ABCD． 平面ABCD， ∴．……………………5分 又在正方形ABCD中且，……………………6分 ∴CD平面PAD．……………………7分 又平面PCD， ∴平面平面．……………………8分
(3)	解法1：取AD中點L，過L作LKAC于K，連接EK、EL,………………9分 L為AD中點，∴EL//PA，∴EL平面ABCD， ∴LK為EK在平面ABCD內的射影． 又LKAC,∴EKAC,……………………11分 ∴為二面角E—AC—D的平面角．……………………12分 在RtADC中，LKAC， ∴∽, ∴,即，∴，……………………13分 在Rt中，， ∴二面角E—AC—D的正切值為．……………………14分 解法2： 如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．………………9分 由PA＝AB＝2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)．……………10分 PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，＝(0,0,2)． 設平面AEC的法向量為,, 則即 ∴ ∴令,則．………………12分 ∴,…………………13分 ∴． ∴二面角E—AC—D的正切值為．…………………14分