Question

直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)(其中a，b是實(shí)數(shù))，且△AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值為________．

 

Answer 1

－1

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，

過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，因?yàn)?/span>△AOB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點(diǎn)，又|OA|＝|OB|＝1，根據(jù)勾股定理得|AB|＝，∴|OC|＝|AB|＝.

∴圓心到直線的距離為＝，即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0.

∴－≤b≤.則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0,1)之間距離d＝＝＝.

設(shè)f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函數(shù)為對(duì)稱軸為x＝2的開口向上的拋物線，∴當(dāng)－≤b≤<2時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．

∵f()＝3－2，∴d的最小值為＝＝－1