Question

已知函數f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

π

4

)，從而可求函數周期；
（Ⅱ）利用余弦函數取最值的條件，整體思考即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意，f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

π

4

)
∴T=π；
（Ⅱ）當2x+

π

4

=2kπ，即x=kπ-

π

8

(k∈Z)時，f(x)max=

2

； 
當2x+

π

4

=2kπ+π，即x=kπ+

3π

8

(k∈Z)時，f(x)min=-

2

．

點評：本題以三角函數為載體，考查二倍角的余弦，考查函數的周期，同時考查了函數的最值，正確將函數化簡是關鍵．